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九連環の数理

『知恵の輪読本』によるとn連環を解く手数は漸化式
a(1)=1
a(2)=2
a(n)=2a(n-2)+a(n-1)+1
によって与えられます(nが偶数のときn-1連環の2倍,奇数のとき2倍+1)。
最後の式の両辺にa(n-1)+1を加えて整理すると
a(n)+a(n-1)+1=2(a(n-1)-a(n-2)+1)
b(n)=a(n+1)+a(n)+1とおくと
b(1)=4
b(n+1)=2b(n)
よって b(n)=4・2n-1
a(n)=-a(n-1)+4・2n-2-1
=-(-a(n-2))+4・2n-3-1))+4・2n-2-1
(中略)
=(-1)n-1-a(1)+等比数列の和-(n-1%2)

a(n)=(-1)n-1-4(-1)n-1((1-(-2)n-1/1-(-2))-(n-1%2)
かな。
by myano11 | 2007-09-02 12:11 | 玩具

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